# Anisotropia, quando a direção importa

Fonte: https://vbfelix.github.io/posts/0043-o-seu-mapa-tem-veio-e-a-krigagem-n-o-sabe/index.html

### Um vídeo de marcenaria me devolveu à geoestatística

Minha relação com a geoestatística e com a análise espacial começou cedo na graduação em Estatística. Publiquei, com colegas, o artigo [*Estimadores de semivariância: uma revisão*](https://periodicos.ufsm.br/cienciaenatura/article/view/21326/pdf) (Ciência e Natura, 2016). Depois, no mestrado, defendi a dissertação [*Geoestatística espaço-temporal: modelagem de fenômenos naturais no espaço-tempo*](http://pbe.uem.br/wp-content/uploads/2020/03/GEOESTAT%C3%8DSTICA-ESPA%C3%87O-TEMPORAL-MODELAGEM-DE-FEN%C3%94MENOS-NATURAIS-NO-ESPA%C3%87O-TEMPO-%E2%80%93-Vinicius-Basseto-F%C3%A9lix.pdf). Os outros trabalhos sobre semivariograma e dependência espacial estão na minha [lista de publicações](https://vbfelix.github.io/header-publications.html).

Recentemente comecei a atuar em um projeto de movelaria, e me mandaram um vídeo sobre o funcionamento da madeira. O vídeo comentava sobre anisotropia, um conceito que estudei bastante, que apesar do nomes assustador possui aplicação real, e não é tão difícil de enteder. Só que ali ela estava em uma tábua, e eu a conhecia de mapas.

Este texto faz o caminho do vídeo ao mapa. Antes da madeira, passo pela luz, que tem o exemplo mais clássico do conceito.

### Um cristal mostrou duas imagens de uma coisa só

Em 1669, o dinamarquês Rasmus Bartholin descreveu um cristal de calcita que dividia um raio de luz em dois ([New World Encyclopedia, *Double refraction*](https://www.newworldencyclopedia.org/entry/Double_refraction)). Quem olha um texto através do cristal vê cada letra duas vezes, o nome deste fenômeno é a birrefringência, ou dupla refração.

Os dois raios têm nome: o ordinário atravessa o cristal com a mesma velocidade em qualquer direção. A velocidade do extraordinário depende da direção em que ele viaja lá dentro ([Molecular Expressions, *Birefringence*, Florida State University](https://micro.magnet.fsu.edu/optics/lightandcolor/birefringence.html)). O raio extraordinário chega a andar uns 12% mais rápido que o ordinário.

![Esquema ilustrativo da birrefringência: um raio de luz entra no cristal de calcita e sai dividido em dois, o ordinário e o extraordinário.](https://vbfelix.github.io/posts/0043-o-seu-mapa-tem-veio-e-a-krigagem-n-o-sabe/anisotropia-calcita.svg)

Existe uma direção dentro do cristal em que a duplicação some. Ao longo dela, a luz passa com uma velocidade só, como passaria por um vidro, de acordo com a Florida State University. O cristal é o mesmo. **Mudou apenas o lado por onde a luz entrou**.

### Ninguém racha lenha de lado

A madeira ensina a mesma coisa sem sair da floresta. O tronco é feito de fibras alinhadas, que o marceneiro chama de veio. A madeira é mais rígida e mais resistente ao longo das fibras, porque é nessa direção que a maior parte da celulose está alinhada ([Wikipedia, *Orthotropic material*](https://en.wikipedia.org/wiki/Orthotropic_material)).

Por isso o machado entra a favor do veio. Ali ele só precisa afastar uma fibra da outra. Atravessado, teria de cortar todas.

![Esquema ilustrativo de um bloco de madeira: a seta horizontal acompanha as fibras, direção em que a madeira é mais rígida e mais resistente, e a seta vertical atravessa as fibras, direção em que ela é mais fraca.](https://vbfelix.github.io/posts/0043-o-seu-mapa-tem-veio-e-a-krigagem-n-o-sabe/anisotropia-madeira.svg)

Uma tábua não tem "a resistência". Tem uma para cada direção. Quem projeta uma viga precisa saber primeiro para que lado as fibras correm.

### A resposta depende de para onde você aponta

A birrefringência da calcita e o veio da madeira são a mesma propriedade, e ela tem nome. **Anisotropia é a falta de uniformidade conforme a direção**: a medida muda quando muda a direção em que se mede. O oposto é a isotropia ([Wikipedia, *Anisotropy*](https://en.wikipedia.org/wiki/Anisotropy)). O vidro é isotrópico para a luz. A calcita e a madeira são anisotrópicas.

Gosto desses dois exemplos porque eles tiram o conceito do abstrato. Ninguém precisa de equação para entender que a lenha tem lado.

Dado com coordenada também pode ter "veio". A documentação de um programa de mineração dá o exemplo de depósitos minerais formados em camadas, com direções preferenciais de mineralização ([Maptek, ajuda do Vulcan, *Anisotropies*](https://help.maptek.com/vulcan/2025.1/Content/topics/Appendices/Block_Appendix_D/Appendices_11ANSTR.HTM)). O minério varia pouco para quem anda ao longo da camada e muito para quem a atravessa. É a tora, só que no mapa.

### O semivariograma pergunta a que distância e esquece para que lado

A geoestatística é o ramo da estatística que trata de dados espaciais ([Wikipedia, *Geostatistics*](https://en.wikipedia.org/wiki/Geostatistics)). Ela parte de uma observação simples: pontos próximos tendem a ter valores parecidos, e a semelhança se perde com a distância.

A ferramenta que mede essa perda é o semivariograma. Para cada distância $h$, ele junta os pares de pontos separados por mais ou menos essa distância e calcula metade da média do quadrado das diferenças entre os valores ([Wikipedia, *Variogram*](https://en.wikipedia.org/wiki/Variogram)):

$$
\hat{\gamma}(h) = \frac{1}{2N(h)} \sum_{(i,j)} (z_i - z_j)^2
$$ {#eq-semivariancia}

Em @eq-semivariancia, $z_i$ e $z_j$ são os valores medidos nos dois pontos de um par. A soma percorre os pares separados pela distância $h$, e $N(h)$ é o número desses pares. O resultado, $\hat{\gamma}(h)$, é a semivariância. Semivariância baixa quer dizer pares parecidos.

A curva costuma subir com a distância e depois estabilizar. Dois números dela interessam aqui, com a definição do mesmo verbete:

- **Patamar.** O valor em que a curva estabiliza;
- **Alcance.** A distância em que ela praticamente chega ao patamar.

Além do alcance, conhecer o valor de um ponto não ajuda a adivinhar o do outro.

Repare no que a conta fez com os pares. Ela juntou todos os que estão à mesma distância, apontem para o norte ou para o leste. Em geral se supõe isotropia, e a semivariância depende só da distância. Ou seja, podemos estar tratando a madeira como se fosse vidro.

Quando a suposição falha, **dois pontos à mesma distância podem ser parecidos em uma direção e muito diferentes na outra**. O semivariograma passa a mudar com a distância e também com a direção. É aí que a geoestatística também considera anisotropia ([Esri, ajuda do ArcGIS Pro, *Accounting for anisotropy*](https://pro.arcgis.com/en/pro-app/3.3/help/analysis/geostatistical-analyst/accounting-for-anisotropy-using-directional-semivariogram-and-covariance-functions.htm)).

![Esquema ilustrativo, sem dados, de dois mapas. À esquerda, o caso isotrópico: manchas redondas de valor alto e de valor baixo, sem direção preferida. À direita, o caso anisotrópico: as manchas são alongadas e apontam todas para o mesmo lado.](https://vbfelix.github.io/posts/0043-o-seu-mapa-tem-veio-e-a-krigagem-n-o-sabe/anisotropia-campos.svg)

No mapa da direita, ande 100 metros ao longo de uma mancha e você continua dentro dela. Faça o mesmo na outra direção e você trocará de mancha.

### Quatro curvas onde havia uma

O jeito de enxergar a anisotropia é parar de misturar as direções. Calcula-se a @eq-semivariancia várias vezes. Em cada uma só entram os pares cuja linha aponta para perto de uma direção escolhida. O resultado se chama semivariograma direcional.

Um guia da MetricGate sugere quatro direções, 0, 45, 90 e 135 graus ([MetricGate, *Anisotropic variogram fitting*](https://metricgate.com/docs/anisotropic-variogram-fitting-directional/)). A tolerância diz o quanto um par pode desviar da direção e ainda entrar na conta.

É nela que mora o risco. Com tolerância estreita demais, sobram poucos pares em cada direção e o sinal some. Com tolerância larga demais, as direções se misturam de novo e a anisotropia some na média.

Se as quatro curvas saem iguais, o dado é isotrópico e nada muda. Se saem diferentes, o tipo da diferença importa.

![Esquema ilustrativo, sem dados, de dois semivariogramas direcionais. As duas curvas sobem até o mesmo patamar. A curva laranja chega a ele em uma distância curta, o alcance menor. A curva azul só chega em uma distância maior, o alcance maior.](https://vbfelix.github.io/posts/0043-o-seu-mapa-tem-veio-e-a-krigagem-n-o-sabe/anisotropia-variogramas.svg)

O eixo horizontal é a distância entre os pontos e o vertical é a semivariância. As duas curvas chegam ao mesmo patamar. Só o alcance muda: na direção azul, a semelhança entre os pontos dura mais longe.

### Três números desenham a elipse

Esse caso, de patamar igual e alcance diferente, é a anisotropia geométrica. No dado isotrópico, a região em que um ponto ainda se parece com os vizinhos é um círculo, com raio igual ao alcance. Na anisotropia geométrica, o alcance muda com a direção e desenha uma elipse.

Três números bastam para descrever a elipse em duas dimensões

- **Alcance maior.** O alcance na direção em que a semelhança vai mais longe. É o eixo comprido da elipse;
- **Razão de anisotropia.** O alcance menor dividido pelo alcance maior, um número entre 0 e 1;
- **Ângulo.** A direção do eixo comprido, em graus, medida no sentido horário a partir do norte.

Um exemplo inventado para fixar: alcance maior de 400 metros, razão de 0,4 e ângulo de 60 graus. O alcance menor é 400 vezes 0,4, ou 160 metros.

![Esquema ilustrativo da elipse de anisotropia do exemplo. O eixo comprido, de 400 metros, é o alcance maior e aponta a 60 graus do norte, no sentido horário. O eixo curto, de 160 metros, é o alcance menor. A razão é 0,4.](https://vbfelix.github.io/posts/0043-o-seu-mapa-tem-veio-e-a-krigagem-n-o-sabe/anisotropia-elipse.svg)

O nome "geométrica" vem do conserto. Esse tipo de anisotropia se reduz à isotropia com uma transformação linear das coordenadas. Em palavras simples, gire o mapa até o eixo comprido ficar alinhado e estique o eixo curto até a elipse voltar a ser círculo. No mapa esticado, o dado é isotrópico de novo.

### A krigagem que desenha bolinhas

O semivariograma existe para alimentar a krigagem, o método que estima o valor em pontos não amostrados a partir das observações vizinhas. É ela que transforma amostras soltas em mapa contínuo.

Com um semivariograma isotrópico, a krigagem supõe a mesma correlação em todas as direções. Um vizinho a 100 metros para o norte é tratado como tão informativo quanto um vizinho a 100 metros para o leste.

Quando o "veio" é forte, o mapa pode sair errado de um jeito reconhecível. No exemplo de geoquímica, a krigagem isotrópica borraria os limites do minério em círculos. O corpo alongado viraria uma fileira de bolinhas.

A krigagem também não avisa do erro. Ela devolve, junto com cada estimativa, uma variância de erro, e essa medida só vale se o semivariograma estiver correto. Semivariograma errado, incerteza errada.

A elipse tem o seu próprio limite. Uma elipse só para o mapa inteiro supõe que as mesmas propriedades estatísticas valem em toda parte. Quando o veio muda de direção no meio da área, uma elipse única volta a ser uma média de coisas diferentes.

### Antes de interpolar, procure a direção

Três práticas para qualquer dado com coordenada:

- **Olhe as direções antes de ajustar.** Calcule os semivariogramas direcionais antes de aceitar uma curva só para o mapa inteiro;
- **Compare patamar e alcance.** Patamar igual e alcance diferente pedem a elipse. Patamar diferente é anisotropia zonal e pede outro tratamento;
- **Desconfie das bolinhas.** Mapa interpolado cheio de manchas redondas, em um fenômeno que você sabe ser alongado, pode ser sinal de direção ignorada.

O marceneiro olha o veio antes de serrar. Da próxima vez que alguém entregar um mapa interpolado, pergunte para que lado as "fibras" correm.